2.2.1条件概率
一、教学预设1教学标准(1)通过设置问题情境，让学生感受条件概率的本源的朴素的想法，亲身经历条件概率概念的形成过程，引导学生归纳出条件概率的定义，体会由特殊到一般再由一般到特殊的思维方式；(2)通过对实例的分析，帮助学生在运用中不断巩固和体会条件概率的定义，会应用条件概率的两种计算方法解决应用问题，培养同学们类比归纳能力和建模思想2标准解析(1)内容解析：条件概率是高中课程标准实验教材数学选修23
第二章第二节的内容，它在教材中起着承前启后的作用一方面，可以巩固古典概型概率的计算方法；另一方面，为研究相互事件打下良好的基础本节内容是对前面所学知识的综合应用，是一种模型的构建是从实际入手，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程会对今后数学及相关学科的学习产生深远的影响根据以上分析，本节课的教学重点确定为：条件概率的定义、公式的推导与计算(2)学情诊断：本节课是一节新授课，学生虽然对概率知识有所了解，但对条件概率模型缺乏认识，脑海中没有推导依据和思考方向，学生学习的困难在于：如何判断一个概率是条件概率，条件概率与我们以前所学过的概率有何区别，即便能看出是条件概率又如何计算条件概率？为何在定义中要强调,在讲解中特别指出若时，不能用现在的方法定义事件发生的条件下事件发生的概率，而需要从极限的角度，或更一般地，从测度论的角度来定义，现在我们不做研究为何要将实例中的运用古典概型计算的条件概率，分子分母同时除以总基本事件数，然后转化为(同时发生的概率与事件发生的概率之比？)两种方法的区别是什么？能否运用韦恩图来描述事件与事件之间的关系？根据以上分析，本节课的教学难点确定为：如何判断一个概率是条件概率，如何让学生理解条件概率的本质是样本空间范围的缩小下的概率如何选用恰当的方法来计算条件概率(3)教学对策：在教学中，不仅要使学生“知其然”，而且要使学生“知其所以然”为了体现以生为本，遵循学生的认知规律，坚持以教师为主导，学生为主体的教学思想，体现循序渐进的教学原则，我采用引导发现法、分析讨论法的教学方法，通过提问、启发、设问、归纳、讲练结合、适时点拨的方法，让学生的思维活动在老师的引导下层层展开，让学生大胆参与课堂教学，使他们“听”有所“思”，“练”有所“获”，使传授知识与培养能力融为一体(4)教学流程：情景引入设问探究启发归纳应用巩固总结评价
二、教学实录如果中国男足成功进入2014年巴西世界杯32强，在分组抽签仪式上，先确定巴西在内的8个种子队分别在AH的8个组内若巴西在C组，则中国队分到C组的概率是多大？若已知A组已被其它国家队抽去的条件下，中国队分到C组的概率又是多大？概率起源于生活，应用于生活，因此用生活中的实例引入能帮助学生理解条件概率的意义，将抽象的概念生活化、具体化轻松引入本节课题问题1：三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取，问：(1)最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小(2)如果已经知道第一名同学抽到了中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率是多少？师：根据上面的例子，你能得出这些概率与我们所学过的概率一样吗？什么地方不一样？请大家以小组的方式讨论一下生：他们与我们所学的概率不一样，都在原有的基础上又附加了条件，使得概率发生变化(此问学生应该能很容易得出)师：那么，如何求在附加条件下的概率呢？下面我们就以问题1具体分析一下给同学们5分钟时间交流一下预习情况，并由小组长组织组员讨论，看能否达成共识，把问题暴漏出来，并把讨论成果用实物投影展示一下(1)最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小师生活动：学生在此尝试时，会从直观感觉上回答谁先回答谁就有可能中奖，如果遇到这种情况，教师不要直接否定，而是让其他小组的学生代表他们小组发言，从古典概型的角度分析，从而很好的解决出现的问题，以这种方式解决出现的错误，最后教师点拨，从而做到让学生自己研究的目的，发挥了学生的主观能动性(2)如果已经知道第一名同学抽到了中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率是多少？(如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？如果已经知道前两名同学都没抽到呢？)师生活动：再请一位小组代表回答第二问，有了第一问的错误分析，在此问的回答中，学生应该不会出错已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？与第一问相比概率发生怎样的变化了呢？师生活动：要求学生把所有基本事件都列举出来，具体分析满足事件A下的基本事件数有哪些，同时满足B事件的基本事件数有哪些，由于附加条件A，使得哪些基本事件数被了，让学生上台展示，并做比较系统的分析，从而让学生真正经历概念的生成过程及概念本质的挖掘过程师：好了，既然我们已经知道什么是条件概率了，那么，条件概率又如何计算呢？有没有计算公式呢？生：学生能够得出=，(注意，学生在初学时会把分子上的误认为是，这要让学生辨析，可以让学生自己举例说明，也可以以投硬币试验来说明但是举例要简单，容易理解一些师：但是这个公式通用吗？请同学们看下面的例子：设在一个罐子里放有白球和黑球，现依次取两球(没有放回)，事件是第一次从罐中取出黑球，事件是第二次从罐中取出黑球，那么事件对事件有没有影响？(1)如果罐子里有2个不同白球和1个黑球，事件发生的概率是多少？(2)如果罐子里有2个不同白球和1个黑球，在事件发生的条件下，事件发生的概率又是多少？若在事件没有发生的情况下，事件发生的概率又是多少？师：上面的例子是否为条件概率呢？如果是的话，能用上面这个公式吗？不能的话那该怎么办呢？既然给出的是概率，那么能否将上面的公式进行等价转化，变成概率关系式呢？请同学们回答问题2问题2：对于上面的事件和事件，与它们的概率有什么关系呢？能否运用韦XX来描述事件与事件之间的关系？请结合图形来计算根据古典概型的计算公式，其中表示中包含的基本事件个数所以，因此，可以通过事件和事件的概率来表示通过此问得出条件概率的定义，加深对条件概率的理解，并得出计算公式，从两个角度分析，一是采用缩小样本空间的方法求出相应的概率，二是转化为对应概率之比，同时也让学生明白引入条件概率公式更具有一般性不仅可以解决古典概型，还可以解决与计数有关的概率问题，进而引入条件概率的定义，培养学生运用从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点分析问题的能力，充分体现了数学的化归思想运用韦XX来描述事件关系使得学生更容易理解和接受问题3：根据以上几个问题的分析，请同学们归纳一下条件概率的定义并指出条件概率与我们以前所学概率的区别是什么？与的区别是什么？条件概率的定义：一般的,设和为两个事件，且，称=为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率(conditionalprobability)读作发生的条件下发生的概率锻炼学生的概括能力，可以用学生自己的语言归纳，然后老师给予启发和补充,并强调重点，且指明的原因让学生举例说明条件概率不仅能检测学生对概念的理解程度，同时对活跃课堂气氛有很大的帮助在此为呼应前面提出的问题，可以让学生再次分析一下条件概率与我们以前所学概率的区别，从而突破本节课的难点问题4：既然条件概率也是概率，那么满足概率的性质吗？分别是什么？这些性质对我们计算概率有什么帮助？条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即,如果与是两个互斥事件，则,这些性质对我们简化概率运算起到了很好的作用以此来简化较为复杂的概率计算问题，可以以例3加以说明例1抛掷红、蓝两颗骰子，记事件为“蓝色骰子的点数为3和6”，事件为“两颗骰子的点数之和大于8”(1)求、；(2)当已知蓝色骰子两点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？(画棋盘图说明)本例的目的是通过棋盘图的形式让学生加深对条件概率的理解，并会用计数的方法，利用古典概型的知识解决条件概率,设置两问更具层次性同时能够培养学生运用数形结合的思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度师生活动：让学生自己思考，自己画图说明教师最后以课件的形式演示，说明，并指出计数的方式不具有一般性，然后引出例2例2某种动物出生之后活到20岁的概率为07，活到25岁的概率为056，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率在例1的基础上，为体现方法一的局限性，故设置了例2，以用于说明条件概率公式的应用更具广泛性、一般性例3一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从09中任选一个某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率解析：设第次按对密码为事件，则表示不超过2次就按对密码(1)因为事件与事件互斥，由概率的加法公式得(2)用表示最后一位按偶数的事件，则通过本例可以使学生进一步熟悉概率和条件概率的性质，并把这些性质用于简化概率和条件概率的计算练习1：在5道题中有3道理科题和2道文科题如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率本题的目的在于考查条件概率的两种计算方法，其三个问题的设计体现了知识的递近与螺旋式上升，有利于引导学生利用条件概率的定义来求解问题(3)中的条件概率，在解答过程中，得到前两个问题的答案后，自然会想到利用条件概率的定义去计算条件概率解法2，演示了利用缩小基本事件范围的观点来计算条件概率的方法练习2：甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20和18，两地同时下雨的比例为12，问：(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？本题从另外几个侧面考查学生对条件概率概念的认识和利用缩小基本事件范围的方法来求条件概率的计算难度由浅入深，遵循学生的认知规律，让学生能够很好的完成四道检测题，从而为完成本节课的教学目标画上的句号问题5：这节课你有什么收获？学到了哪些知识和方法？师生活动：学生小结归纳，不足的地方其他学生与老师补充说明1能根据条件概率的定义会判断一个概率是否为条件概率；2会运用两种方法求条件概率；3能用条件概率的性质简化概率的计算使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识，并把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用，也进一步升华了这节课所要表达的本质思想，让学生的认知更上一层
三、教学反思根据本节课的特点，采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳条件概率的概念及其计算公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来通过合作探究、交流展示发现学生在学习中的不足，及时得到纠正与巩固成功之处：以问题为纽带，化结果为过程的教学理念始终贯穿了整个教学过程，因为我们不仅希望学生掌握知识，更希望学生掌握分析知识、选择知识、更新知识的能力在本节课中切忌受传统教学的束缚，以讲为主，要运用新课程理念，以学生为本，让学生成为课堂的主人，在参与课堂活动中，体会学习给他们带来的乐趣，创造和谐的课堂氛围不足之处：本节课，学生在探讨问题与交流的时间上把握不是太好，对学生问题的发散控制的不是太成熟，这也是要进一步改进和提高的地方
四、教学点评1用问题链组织课堂教学，运用建构主义的数学学习理论，引导认知主体，积极参与到探索、发现、讨论、交流的学习活动中去，使课堂教学成为学生亲自参与的充满丰富生动的数学思想场所,体现课堂中学生的主体地位2在突破难点问题上，巧妙通过学生合作交流，质疑变式等教学方式，引导学生利用数形结合、由特殊到一般等数学思想使问题自然流畅，层层递进3设计高效应用环节，达到教与学、学与用、用与考的完美结合，同时提升同学们服务社会，奉献爱心的情感高度2.2.2事件的相互性
一、教学预设1教学标准(1)通过创设情景，引发学生的探究欲望，引导学生对实际问题的思考，形成正确的相互事件的概念，得到相互事件同时发生的概率乘法公式；(2)通过具体例子，帮助学生认识相互事件及其特点，并能进行简单地应用，培养学生的动手能力、探究性学习的能力、创新意识和实践能力，发展学生“用数学”的意识和能力2标准解析(1)内容解析：事件的相互性是高中数学选修2-3
第二章的内容，这节课是在学生学习了排列、组合、等可能性事件概率、互斥事件概率、条件概率的基础上进行的通过本节学习不仅要掌握相互事件的定义及其同时发生的概率乘法公式和公式的应用，为后继学习重复试验等概率知识以及今后学习相关知识奠定良好基础，而且更重要的是让学生真正意识到集体的力量大于个人的力量，虚心求教的必要性，养成谦虚求教的良好治学态度,适时地对学生进行德育教育根据以上分析，本节课的教学重点确定为：相互事件的意义和相互事件同时发生的概率公式(2)学情诊断：学生已具有一定的数学分析能力，为此教学应从设疑入手，引导其探索，提出解决问题的方法，重在进一步培养其分析问题、解决问题的能力和创新意识学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养多数学生对数学学习有兴趣，能够积极参与研究，但在合作交流方面，有待加强根据以上分析，本节课的教学难点确定为：对事件性的判定，以及能正确地将复杂的概率问题分解转化为几类基本的概率模型(3)教学对策：本节知识比较抽象，按照学生的心理特点和思考规律，本节课充分调动学生思考的积极性，体现学生的主体作用，在教学中多提疑点，启发引导为了巩固知识和方法，采用讲练结合，同时可适当借助多媒体辅助教学，以引导思考为核心，展示课堂情境，启发引导学生观察、思考、分析，并沿着积极的思维方向发展，逐步达到即定的教学目标
